群環の両側イデアルと正規部分群の完全な分類およびホップ代数による特徴付け

証明 $V$ を $K[G]$ 加群とし、 $W \subset V$ を部分 $K[G]$ 加群とする。 $V$ が半単純であることを示すには、 $W$ の補加群、すなわち $V = W \oplus U$ となるような部分 $K[G]$ 加群 $U$ が存在することを示せばよい。

まず、 $V$ は $K$ 上のベクトル空間でもあるので、線型代数学の一般論により、 $K$ 上のベクトル空間としての直和分解 $V = W \oplus U_0$ が存在する。これに対応する $K$ 線型な射影 $p_0: V \to W$ が定まる。すなわち、任意の $v \in V$ は $v = w + u_0$ （ここで $w \in W$ 、 $u_0 \in U_0$ ）と一意に書け、 $p_0(v) = w$ である。この $p_0$ は一般には $K[G]$ 準同型ではない。

そこで、群の作用を用いてこれを平均化し、新しい写像 $p: V \to V$ を次のように定義する。 $$ p(v) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g p_0(g^{-1} v) $$ ここで、仮定 $\operatorname{char}(K) \nmid |G|$ により体 $K$ において $|G|$ は可逆であるため、 $\frac{1}{|G|}$ は意味を持つ。この写像 $p$ は以下の性質を満たす。

1. $p(v) \in W$ であること： 各 $g \in G$ について $g^{-1} v \in V$ であり、 $p_0$ の像は $W$ に含まれるので、 $p_0(g^{-1} v) \in W$ である。 $W$ は $K[G]$ 加群であるから、群の元 $g$ を作用させても $W$ に留まり、 $g p_0(g^{-1} v) \in W$ となる。したがって和をとっても $p(v) \in W$ である。
2. $w \in W$ ならば $p(w) = w$ であること： 任意の $g \in G$ について $g^{-1} w \in W$ であり、 $W$ 上で $p_0$ は恒等写像として働くため、 $p_0(g^{-1} w) = g^{-1} w$ となる。ゆえに、 $$ p(w) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g (g^{-1} w) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} w = w $$
3. $p$ が $K[G]$ 準同型であること： 任意の $h \in G$ と $v \in V$ に対して、 $$ p(h v) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g p_0(g^{-1} h v) $$ $x = h^{-1} g$ とおくと、 $g = h x$ であり、 $g$ が $G$ 全体を動くとき $x$ も $G$ 全体を動く。よって、 $$ p(h v) = \frac{1}{|G|} \sum_{x \in G} h x p_0(x^{-1} v) = h \left(\frac{1}{|G|} \sum_{x \in G} x p_0(x^{-1} v)\right) = h p(v) $$ これより、 $p$ は $K[G]$ 加群の準同型である。

以上の性質から、 $p$ は $V$ から $W$ への $K[G]$ 射影である（すなわち $p \circ p = p$ かつ $\operatorname{Im}(p) = W$ ）。

ここで $U = \operatorname{Ker}(p)$ とおくと、 $p$ が $K[G]$ 準同型であることから $U$ も $K[G]$ の部分加群となる。任意の $v \in V$ は $v = p(v) + (v - p(v))$ と書け、 $p(v) \in W$ 、かつ $p(v - p(v)) = p(v) - p^2(v) = 0$ より $v - p(v) \in U$ である。さらに $W \cap U = \varnothing$ ではなく、 $W \cap U = \{0\}$ であることも明らかである。

したがって、 $V = W \oplus U$ となり、直和分解ができる。これを有限次元 $K[G]$ 加群に対して帰納的に適用すれば、 $V$ は単純加群の直和に分解される。よって $V$ は半単純加群であり、特に $K[G]$ 自身も半単純環である。 $\blacksquare$

証明 $R$ は左加群として半単純であるため、有限個の単純左 $R$ 加群の直和として表される。同型な単純加群をまとめて、 $$ R \cong V_1^{\oplus n_1} \oplus V_2^{\oplus n_2} \oplus \dots \oplus V_r^{\oplus n_r} $$ とする。ここで $V_i$ は互いに同型でない単純左 $R$ 加群である。

環 $R$ は自身の左作用と可換な自己準同型の環（すなわち右 $R$ 加群としての自己準同型環の反対環）と同型である。標準的な同型 $\operatorname{End}_R(R) \cong R^{\mathrm{op}}$ を用いる。 Schurの補題により、単純加群間の準同型は以下の性質を持つ。

1. $i \neq j$ のとき、 $\operatorname{Hom}_R(V_i, V_j) = \{0\}$
2. 各 $i$ について、 $D_i = \operatorname{End}_R(V_i)^{\mathrm{op}}$ は斜体である。

したがって、 $R^{\mathrm{op}} \cong \operatorname{End}_R(R)$ を計算すると、異種の成分間の準同型はゼロになるため、 $$ \operatorname{End}_R(R) \cong \operatorname{End}_R \left(\bigoplus_{i=1}^r V_i^{\oplus n_i}\right) \cong \prod_{i=1}^r \operatorname{End}_R(V_i^{\oplus n_i}) $$ となる。

各 $i$ について、 $\operatorname{End}_R(V_i^{\oplus n_i})$ は $\operatorname{End}_R(V_i)$ の要素を成分に持つ $n_i \times n_i$ 行列環 $M_{n_i}(\operatorname{End}_R(V_i))$ と同型である。よって、 $$ R^{\mathrm{op}} \cong \prod_{i=1}^r M_{n_i}(\operatorname{End}_R(V_i)) $$ 両辺の反対環をとると、行列環の反対環の性質 $(M_n(S))^{\mathrm{op}} \cong M_n(S^{\mathrm{op}})$ より、 $$ R \cong \prod_{i=1}^r M_{n_i}(D_i) $$ を得る。 $\blacksquare$

証明 まず、環 $S = M_n(D)$ が単純環である（自明でない両側イデアルを持たない）ことを示す。 $I \subset S$ を非零な両側イデアルとし、 $I \neq \{0\}$ と仮定する。 $I$ には少なくとも1つの非零行列 $A = (a_{ij})$ が存在する。ある成分 $a_{kl} \neq 0$ となる $k$ と $l$ が存在する。

$E_{ij}$ を $(i, j)$ 成分のみが 1 で他が 0 の行列基底とする。行列の積の性質として、 $E_{pk} A E_{lq}$ は $(p, q)$ 成分が $a_{kl}$ で他が 0 の行列となる。 $a_{kl}$ は斜体 $D$ の非零元であるから逆元 $a_{kl}^{-1}$ を持つ。よって、 $(a_{kl}^{-1} E_{pp}) (E_{pk} A E_{lq}) = E_{pq}$ となる。

$I$ は両側イデアルなので、任意の $p$ と $q$ について $E_{pq} \in I$ である。単位行列 $I_n$ は $E_{11} + E_{22} + \dots + E_{nn}$ であるから、 $I_n \in I$ となる。単位元を含む両側イデアルは環全体と一致するため、 $I = S$ である。よって $M_n(D)$ は単純環である。

次に、直積環 $R = \prod_{i=1}^r R_i$ の両側イデアルの形を調べる。 $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ を $i$ 番目の成分のみが単位元で他がゼロの元とする。これらは互いに直交する中心元 (central elements) であり、和が単位元 $1_R$ になる。 $I$ を $R$ の任意の両側イデアルとする。 $I_i = \{x \in R_i \mid (0, \dots, x, \dots, 0) \in I\}$ とする。これは明らかに $R_i$ の両側イデアルである。

任意の $x = (x_1, \dots, x_r) \in I$ について、 $x \cdot e_i = (0, \dots, x_i, \dots, 0) \in I$ となるため、 $x_i \in I_i$ である。したがって $I \subset \prod_{i=1}^r I_i$ である。 逆に、 $y = (y_1, \dots, y_r) \in \prod_{i=1}^r I_i$ とすると、各 $i$ について $(0, \dots, y_i, \dots, 0) \in I$ であるから、それらの和である $y$ も $I$ に含まれる。ゆえに $I = \prod_{i=1}^r I_i$ である。 各 $R_i$ は単純環であるから、 $I_i = \{0\}$ または $I_i = R_i$ のいずれかである。以上より、 $R$ の両側イデアルは定理の主張の通り分類される。 $\blacksquare$

証明 $J$ を $\{ n - 1 \mid n \in N \}$ によって生成される $K[G]$ の左イデアルとする。すなわち、 $$ J = \left\{ \sum_{i=1}^m x_i (n_i - 1) \ \middle|\ m \in \mathbb{N}, \ x_i \in K[G], \ n_i \in N \right\} $$ である。

まず $J \subset I(N)$ であることを示す。任意の $x \in K[G]$ と $n \in N$ に対して、 $$ \pi(x(n - 1)) = \pi(x)(\pi(n) - \pi(1)) = \pi(x)(nN - 1N) $$ となるが、 $n \in N$ であるため剰余群 $G/N$ において $nN = 1N$ である。したがって $\pi(x(n - 1)) = 0$ となり、 $x(n - 1) \in I(N)$ である。 $I(N)$ は加法について閉じているため、 $J \subset I(N)$ となる。

次に $I(N) \subset J$ であることを示す。剰余群 $G/N$ の完全代表系を $R \subset G$ とする。すると、任意の $g \in G$ はある $r \in R$ と $n \in N$ を用いて $g = rn$ と一意に表される。したがって、 $K[G]$ の任意の元 $y$ は、 $$ y = \sum_{r \in R} \sum_{n \in N} a_{rn} (rn) $$ と一意に書くことができる（ここで $a_{rn} \in K$ であり、非零となるのは有限個のみである）。 $y \in I(N)$ と仮定する。定義より $\pi(y) = 0$ である。これを計算すると、 $$ \pi(y) = \sum_{r \in R} \sum_{n \in N} a_{rn} (rnN) = \sum_{r \in R} \left( \sum_{n \in N} a_{rn} \right) rN = 0 $$ となる。 $K[G/N]$ において、 $\{ rN \mid r \in R \}$ は $K$ 上の基底をなすため、各 $r \in R$ に対してその係数はゼロでなければならない。すなわち、 $$ \sum_{n \in N} a_{rn} = 0 $$ が成り立つ。これを用いて $y$ を変形する。 $$ y = \sum_{r \in R} \sum_{n \in N} a_{rn} (rn) = \sum_{r \in R} \sum_{n \in N} a_{rn} (rn - r + r) $$ $$ = \sum_{r \in R} \sum_{n \in N} a_{rn} r(n - 1) + \sum_{r \in R} \left( \sum_{n \in N} a_{rn} \right) r $$ 第2項の係数はすべてゼロであるから、 $$ y = \sum_{r \in R} \sum_{n \in N} a_{rn} r(n - 1) $$ となる。各項は $x(n - 1)$ （ただし $x = a_{rn} r \in K[G]$ ）の形をしており、これは左イデアル $J$ の定義を満たす。よって $y \in J$ であり、 $I(N) \subset J$ となる。 以上より $I(N) = J$ である。

また、 $J = I(N)$ は環準同型の核として構成されたため、自動的に両側イデアルとなる。 $\blacksquare$

証明 まず $N(I)$ が $G$ の部分群であることを示す。

1. $1 - 1 = 0 \in I$ であるから、単位元 $1 \in N(I)$ である。
2. $g, h \in N(I)$ とすると、定義より $g - 1 \in I$ かつ $h - 1 \in I$ である。積 $gh$ について考えると、 $$ gh - 1 = gh - g + g - 1 = g(h - 1) + (g - 1) $$ と変形できる。 $I$ は左イデアルであるため $g \in K[G]$ に対して $g(h - 1) \in I$ であり、 $g - 1 \in I$ であるから、その和 $gh - 1$ も $I$ に含まれる。よって $gh \in N(I)$ である。
3. $g \in N(I)$ とすると、 $g - 1 \in I$ である。逆元 $g^{-1}$ について考えると、 $$ g^{-1} - 1 = g^{-1}(1 - g) = -g^{-1}(g - 1) $$ となる。 $I$ は左イデアルであるため、 $-g^{-1} \in K[G]$ を掛けた $-g^{-1}(g - 1)$ も $I$ に含まれる。よって $g^{-1} \in N(I)$ である。

以上により $N(I)$ は $G$ の部分群である。

次に $N(I)$ が正規部分群であることを示す。 $g \in N(I)$ とし、任意の $x \in G$ をとる。共役 $xgx^{-1}$ について考えると、 $$ xgx^{-1} - 1 = xgx^{-1} - xx^{-1} = x(g - 1)x^{-1} $$ となる。 $g - 1 \in I$ であり、かつ $I$ は両側イデアルであるため、左から $x$ を掛け、右から $x^{-1}$ を掛けた元 $x(g - 1)x^{-1}$ も $I$ に含まれる。したがって $xgx^{-1} \in N(I)$ であり、 $N(I)$ は $G$ の正規部分群である。 $\blacksquare$

証明 $n \in N$ とすると、定理3.1の証明より $n - 1 \in I(N)$ である。したがって定義より $n \in N(I(N))$ となり、 $N \subset N(I(N))$ が成り立つ。

逆に、 $g \in N(I(N))$ とすると、定義より $g - 1 \in I(N)$ である。 $I(N)$ は環準同型 $\pi: K[G] \to K[G/N]$ の核であるから、 $\pi(g - 1) = 0$ である。ゆえに、 $$ \pi(g) - \pi(1) = gN - 1N = 0 $$ すなわち $K[G/N]$ において $gN = 1N$ となる。 $K[G/N]$ は $G/N$ の元を基底とするベクトル空間であり、相異なる剰余類は線型独立である。したがって $gN = 1N$ が成り立つのは、剰余群 $G/N$ において $gN$ と $1N$ が同じ要素である場合、すなわち $g \in N$ の場合に限られる。 よって $N(I(N)) \subset N$ が成り立つ。 以上より $N(I(N)) = N$ である。 $\blacksquare$

証明 $(\Rightarrow)$ $I = I(N)$ であると仮定する。定理3.3により、 $N(I(N)) = N$ が成り立つ。したがって $N(I) = N$ である。また定理3.1より、 $I(N)$ は集合 $\{ n - 1 \mid n \in N \}$ によって生成される左イデアルである。よって条件は満たされる。

$(\Leftarrow)$ $I$ が集合 $S = \{ n - 1 \mid n \in N(I) \}$ によって生成される左加群であると仮定する。定理3.2により $N(I)$ は $G$ の正規部分群である。そこで正規部分群 $N(I)$ に対してイデアル $I(N(I))$ を考えると、これは $S$ によって生成される左イデアルである。仮定より $I$ も $S$ によって生成される左イデアルであるから、 $I = I(N(I))$ が成り立つ。したがって、 $N = N(I)$ とおけば $I = I(N)$ となる。 $\blacksquare$

証明 $S$ が線型従属であると仮定して矛盾を導く。 $S$ の有限個の元による自明でない線型関係式のうち、項数 $n$ が最小のものをとる。 $$ c_1 g_1 + c_2 g_2 + \dots + c_n g_n = 0 $$ ここで $g_i \in S$ は互いに相異なり、 $c_i \in K$ はすべて非零である。 $\epsilon(g_1) = 1 \neq 0$ であるため、もし $n=1$ ならば $c_1 g_1 = 0$ より $c_1 = 0$ となり矛盾する。よって $n \ge 2$ である。全体を $c_1$ で割ることで、 $c_1 = 1$ と仮定してよい。これを移項すると以下の式を得る。 $$ g_1 = - \sum_{i=2}^n c_i g_i $$ この両辺に余積 $\Delta$ を適用する。 $g_i$ は群的元であるため $\Delta(g_i) = g_i \otimes g_i$ である。 $$ g_1 \otimes g_1 = - \sum_{i=2}^n c_i (g_i \otimes g_i) $$ 左辺の1つ目の $g_1$ に先ほどの式を代入する。 $$ \left( - \sum_{i=2}^n c_i g_i \right) \otimes g_1 = - \sum_{i=2}^n c_i (g_i \otimes g_i) $$ これを整理すると以下の等式を得る。 $$ \sum_{i=2}^n c_i (g_i \otimes g_1 - g_i \otimes g_i) = \sum_{i=2}^n g_i \otimes (c_i (g_1 - g_i)) = 0 $$ この式はテンソル積 $C \otimes_K C$ における等式である。仮定より $n$ は線型関係式の項数の最小値であったため、部分集合 $\{g_2, \dots, g_n\}$ は線型独立である。したがって、 $C \otimes_K C$ において $\sum_{i=2}^n g_i \otimes x_i = 0$ が成り立つならば、各 $g_i$ の係数にあたるテンソル成分 $x_i$ はすべて $0$ でなければならない。 よって、すべての $i \ge 2$ について $c_i (g_1 - g_i) = 0$ である。 $c_i \neq 0$ であるから $g_1 - g_i = 0$ すなわち $g_1 = g_i$ となるが、これは $S$ の元が互いに相異なるという前提に矛盾する。 したがって、 $S$ は線型独立である。 $\blacksquare$

証明 自然な全射写像 $\pi: K[G] \to H$ はHopf代数の全射準同型である。 群環 $K[G]$ は定義より、群 $G$ の元を基底とするベクトル空間である。したがって、任意の $x \in K[G]$ は $g \in G$ の線型結合で書けるため、全射 $\pi$ による像 $H = \pi(K[G])$ は、像の集合 $\pi(G) = \{ \pi(g) \mid g \in G \}$ の元の線型結合によって張られる。すなわち、ベクトル空間として $H = \operatorname{span}_K \pi(G)$ が成り立つ。

一方で、任意の $g \in G$ は $K[G]$ において群的元（ $\Delta(g) = g \otimes g$ かつ $\epsilon(g) = 1$ ）である。 $\pi$ はHopf代数準同型であるから、余積と余単位を保存する。よって、 $$ \Delta_H(\pi(g)) = (\pi \otimes \pi)(\Delta_{K[G]}(g)) = (\pi \otimes \pi)(g \otimes g) = \pi(g) \otimes \pi(g) $$ $$ \epsilon_H(\pi(g)) = \epsilon_{K[G]}(g) = 1 $$ が成り立つ。これは、 $\pi(G)$ のすべての元が商 $H$ において群的元であることを意味している。 以上より、 $H$ は群的元の集合 $\pi(G)$ によってベクトル空間として完全に張られる。 $\blacksquare$

証明 $(\Leftarrow)$ $N \subset G$ を正規部分群とする。定理3.1より、 $I(N)$ は集合 $\{ n - 1 \mid n \in N \}$ によって生成される左イデアルである。ホップ・イデアルの各条件を生成元 $n - 1$ について確認する。

1. 余積について： $\Delta(n - 1) = \Delta(n) - \Delta(1) = n \otimes n - 1 \otimes 1$ である。 これを変形すると、 $n \otimes n - 1 \otimes 1 = (n - 1) \otimes n + 1 \otimes (n - 1)$ となる。 $n - 1 \in I(N)$ であるから、第1項は $I(N) \otimes_K K[G]$ に属し、第2項は $K[G] \otimes_K I(N)$ に属する。したがって $\Delta(I(N)) \subset I(N) \otimes_K K[G] + K[G] \otimes_K I(N)$ である。
2. 余単位について： $\epsilon(n - 1) = \epsilon(n) - \epsilon(1) = 1 - 1 = 0$ である。よって $\epsilon(I(N)) = \{0\}$ である。
3. 対蹠について： $S(n - 1) = S(n) - S(1) = n^{-1} - 1$ である。 $N$ は部分群であるから $n^{-1} \in N$ であり、したがって $n^{-1} - 1 \in I(N)$ である。よって $S(I(N)) \subset I(N)$ である。

以上より、 $I(N)$ はホップ・イデアルである。

$(\Rightarrow)$ $I \subset K[G]$ をホップ・イデアルとする。ホップ・イデアルによる商環 $H = K[G]/I$ は、自然に商ホップ代数となる。自然な全射ホップ代数準同型を $\pi: K[G] \to H$ とする。

命題4.3により、 $H$ は群的元の集合 $\pi(G)$ によってベクトル空間として張られる。すなわち、 $H = \operatorname{span}_K \pi(G)$ である。

補題4.2により、 $H$ の相異なる群的元の全体は線型独立である。 $\pi(G)$ に含まれる元はすべて群的元であるため、 $\pi(G)$ はベクトル空間 $H$ の線型独立な基底をなす。 基底 $\pi(G)$ が（ $\pi$ が環準同型であることから）積に関して閉じており、群をなすため、 $H$ は群 $\pi(G)$ を基底とする群環 $K[\pi(G)]$ とホップ代数として完全に同型である。

ここで群準同型 $\pi|_G : G \to \pi(G)$ の核を $N = \operatorname{Ker}(\pi|_G)$ とおく。 $N$ は $G$ の正規部分群であり、第一同型定理より $\pi(G) \cong G/N$ である。したがってホップ代数として $H \cong K[G/N]$ となる。 イデアル $I$ は全射 $\pi: K[G] \to H \cong K[G/N]$ の核であるが、この全射は $G$ から $G/N$ への自然な射影を線型に拡張したものである。その核は定義により $I(N)$ に他ならない。よって $I = I(N)$ が成り立つ。 $\blacksquare$